<T->
          Matemtica
          Imenes & Lellis
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Mrcio Imenes
          Marcelo Lellis
                                
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 1 edio, So Paulo,
          2009, Editora Moderna Ltda.

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
         Dados do livro em tinta
          
          (C) Luiz Mrcio Imenes,
          Marcelo Lellis 2009

          Coordenao editorial:
          Juliane Matsubara Barroso

          Coordenao de arte:
          Wilson Gazzoni Agostinho

          Coordenao de reviso:
          Elaine Cristina del Nero

          ISBN 978-85-16-06264-4  

          Todos os direitos reservados
           Editora Moderna Ltda.
          
          Rua Padre Adelino, 758 
          -- Belenzinho -- So Paulo
          -- SP -- Brasil -- 
          CEP 03303-904
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501 
          ~,www.moderna.com.br~,
          2011
<p> 
                               I
 Sumrio
 
 Quinta Parte

 Captulo 9

 Desenhando figuras
  espaciais :::::::::::::::: 511
 Desenhando sobre malhas ::: 511
 Ao/Investigao --
  Comparando a perspectiva
  com o desenho sobre
  malha :::::::::::::::::::: 517
 Desenhando em
  perspectiva :::::::::::::: 520
 Um toque a mais --
  Latitudes e 
  longitudes ::::::::::::::: 530

 Captulo 10

 Clculo algbrico ::::::::: 537
 Deduzindo frmulas :::::::: 537
 Clculos algbricos ::::::: 552
 Produtos de polinmios :::: 571
 Produtos notveis ::::::::: 586
 Fatorao ::::::::::::::::: 599
 Ao --
  Eu tenho. Quem tem? :::: 608
 Um toque a mais --
  Um pouco de histria:
  o incio da lgebra :::::: 614

<167>
<Tmat. i. & l. 8>
<T+511>
 Captulo 9

 Desenhando figuras espaciais

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea 
orientao ao professor_`]
<R->

 Desenhando sobre malhas

  Para projetar mquinas ou edifcios, estudar estruturas de molculas, pesquisar formas geomtricas, realizar trabalhos artsticos etc.  preciso representar figuras espaciais no plano do papel. Ou seja,  necessrio representar uma forma de trs dimenses por meio de um desenho em duas dimenses. Como se faz isso?
  H muitas maneiras, como as *vistas* e os *cortes* que voc pode ter conhecido dependendo do que j estudou de Geometria. Neste captulo, vamos estudar mais duas maneiras de representar figuras espaciais no plano. Neste item, veremos as representaes com auxlio de malhas. No prximo, veremos as representaes em perspectiva, uma tcnica inventada h cerca de cinco sculos que usa conhecimentos matemticos.

<R+>
Procure no dicionrio: corte, 
  vista.
<R->

  Conhecer essas tcnicas vai ampliar sua compreenso da geometria e melhorar seu senso esttico, dando-lhe habilidades que sero teis em diversas atividades profissionais. Alm disso,  provvel que voc goste desse estudo.
  As malhas triangulares ou quadriculadas facilitam o desenho de formas espaciais, como no caso destas pilhas de caixas _`[no adaptadas_`].
  No desenho A, temos a impresso de que as caixas tm a forma de cubos. J no desenho B, isso no acontece. No desenho C, temos outra vez a impresso de que as caixas so cbicas. Examine bem os desenhos e veja se descobre por que B e C do impresses to diferentes.
  Repare que os desenhos A e C parecem representar uma mesma pilha de caixas, embora sob ngulos diferentes. Essa mudana do ponto de vista de quem v a pilha  causada pela mudana do tipo de malha.
<168>
  As malhas tambm facilitam o desenho de peas de mquinas e podem ser usadas em desenho industrial.

_`[{duas figuras no adaptadas_`]

<R+>
 Conversando sobre o texto

_`[{para os itens de b) a f), pea orientao ao professor_`]

 a) Cite uma atividade, diferente das mencionadas no texto, em que  necessrio representar formas tridimensionais sobre uma superfcie plana.
 b) Supondo que no existam caixas escondidas atrs das pilhas, quantas h em cada pilha representada no texto?
 c) Compare os desenhos B e C _`[no adaptados_`]. Em que so parecidos? Em que so diferentes?
 d) Neste desenho _`[no adaptado_`], os segmentos em vermelho, que representam as trs dimenses do cubo, tm o mesmo comprimento?
 e) Neste outro desenho _`[no adaptado_`], sobre malha triangular, os segmentos em vermelho, que representam as trs dimenses do cubo, tm mesmo comprimento?
 f) Agora, observe o desenho 
  _`[no adaptado_`] da pea. Supondo a=2 cm, quais so as medidas de *b*, *c* e *d*?

<169>
<p>
 Problemas e exerccios

_`[{para as atividades de 1 a 4, pea orientao ao professor_`]

 1. Imagine uma pilha formada com oito caixas cbicas iguais. Em uma folha de malha triangular, desenhe a pilha que voc imaginou.
 2. Represente a mesma pilha do exerccio anterior em uma folha de malha quadriculada. No esquea: as caixas so cbicas e a passagem para a malha de quadrados vai mudar o ponto de vista do observador.
 3. Represente em uma folha com malha quadriculada a pea de mquina do desenho E do texto. Voc j sabe: muda o ngulo de viso da pea.
<p>
 4. Luciano desenhou a mesma escada duas vezes. Para fazer os dois desenhos, ele posicionou-se um pouco acima da escada. Veja como ficaram os desenhos.

_`[{duas figuras no adaptadas seguidas por suas legendas_`]
 Legenda 1: A escada est um pouco  esquerda de Luciano.
 Legenda 2: A escada est um pouco  direita de Luciano.

  Com base nos desenhos de 
  Luciano, represente em uma folha de malha quadriculada a pea do desenho D do texto, imaginando apenas que a pea est um pouco  sua direita.

 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 5 a 8, pea orientao ao professor_`]

 5. Represente esta pea _`[no adaptada_`] em uma folha de malha quadriculada.
 6. Desenhe o pdio _`[no adaptado_`] em folha de malha triangular.
 7. Este  um desafio. Observe o desenho _`[no adaptado_`]. Quem o fez observou a pea por baixo, com os olhos um pouco abaixo dela. 
Desenhe-a, em uma folha de malha triangular, imaginando seus olhos um pouco acima da pea.
<170>
 8. Observe a composio com 7 cubos _`[no adaptada_`]. Desenhe esta pea, imaginando seus olhos um pouco abaixo dela e colocando-a um pouco  sua esquerda. Use malha quadriculada.
<R->

 Ao/Investigao

 Comparando a perspectiva com o
  desenho sobre malha

  Observe duas representaes 
 _`[no adaptadas_`] da composio com 7 cubos.
<p>
   esquerda, temos um desenho em perspectiva;  direita, um desenho sobre malha quadriculada.
  Voc vai comparar as duas representaes usando recursos matemticos. 
  Faa o que se pede.

<R+>
_`[{para as atividades de 1 a 6, pea orientao ao professor_`]

 1) No desenho em perspectiva, os segmentos de reta {a{b, {c{d, {e{h e {i{j so paralelos? E no desenho sobre a malha, esses segmentos so paralelos?
 2) No desenho em perspectiva, o que acontece com os prolongamentos dos segmentos {a{b, {c{d, {e{h, {i{j e {o{p? (Voc deve imaginar os segmentos prolongados para o fundo da figura.) Escreva no seu caderno o que voc observou.
 3) Alguns segmentos, que so paralelos no desenho sobre a malha, conservam-se paralelos na 
<p>
  perspectiva. Por exemplo: {a{c_l{b{d, {c{f_l{d{g. D outros trs exemplos.
<171>
 4) Na perspectiva, as medidas de {e{f, {f{g e {g{h so iguais? E no desenho sobre a malha, esses segmentos tm medidas iguais?
 5) Alguns segmentos, que tm mesma medida no desenho sobre a malha, tambm tm mesma medida na perspectiva. Por exemplo, {c{f={f{n. D outros dois exemplos.
 6) Aps responder a essas questes, compare os dois desenhos. Qual deles lhe parece mais real, mais verdadeiro? Qual deles se aproxima mais do que seria uma foto da composio com 7 cubos?
<R->
<p>
 Desenhando em perspectiva

  Observe estas reprodues de obras de arte:

<R+>
_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Gravura medieval de 1445 que ilustra o desembarque do rei da Inglaterra Eduardo IV, em Calais, Frana.
 Legenda 2: *A Anunciao*, desenho do pintor italiano Rafael de Sanzio 1483-1520, 28,442,1 cm.
<R->

  Na 1 gravura, percebe-se que os barcos esto na frente e as construes atrs, no fundo da cena. Entretanto, o artista no conseguiu dar a impresso de profundidade. As figuras so achatadas e no tm volume. O tamanho relativo dos elementos no foi respeitado, tanto que as pessoas tm a altura das edificaes.
<p>
  O desenho de Rafael, ao contrrio, lembra uma fotografia. Distingue bem o que est  frente, em primeiro plano, do que est atrs. Os pilares mais afastados so menores. As construes ao fundo parecem mesmo estar l longe. Tm-se as sensaes de profundidade e de volume.
  Rafael  um artista do Renascimento. Foi nessa poca, na Europa, que os artistas desenvolveram a perspectiva. Ela foi criada muito antes da inveno da fotografia, mas podemos dizer que o desenho de uma cena em perspectiva  quase como uma fotografia da cena.
<172>
  Agora, veja duas fotos _`[no adaptadas_`], tiradas de posies diferentes.
  Na primeira foto, tirada de cima, a toalha sob o prato  retangular. Veja a outra foto _`[no adaptada_`]. Se fssemos dese-
<p>
 nh-la, para representar a toalha retangular, traaramos um *trapzio*.

Procure no dicionrio: trapzio.

  No desenho em perspectiva, as formas nem sempre so como so. Elas so como parecem a nossos olhos. Essa impresso se consegue usando geometria (mas, ao mesmo tempo, desrespeitando a forma geomtrica do objeto desenhado!). 
  Vamos ver algumas regras do desenho em perspectiva.
  Numa praia, olhando o mar distante, voc v o horizonte como uma linha reta que fica na altura de seus olhos.
  No desenho em perspectiva, as retas paralelas que se dirigem para o horizonte so representadas por retas que vo se encontrar num ponto, o ponto de fuga (F), que fica na linha do horizonte (h).

<173>
<p>
<R+>
_`[{imagem de uma mulher apontando para duas retas paralelas pontilhadas, que foram desenhadas uma em cada margem de uma 
estrada, que vo se encontrar em um ponto de fuga F, na linha do horizonte *h*. A mulher diz: "Essas paralelas fogem para o ponto de 
fuga"_`]
<R->

  No entanto, outras retas, paralelas na realidade, continuam paralelas no desenho. Veja:

<R+>
_`[{imagem de uma mulher apontando para duas retas paralelas pontilhadas que foram desenhadas um pouco acima de dois moures. A mulher 
diz: "Estas paralelas verticais tambm continuam paralelas no desenho". Na mesma imagem, duas setas destacam o lado esquerdo e o 
direito de uma estrada que no encontra nenhum ponto de fuga. Ela continua: 
<p>
  "Estas paralelas horizontais continuam paralelas no desenho"_`]
<R->

  Agora, observe a cerca de duas posies diferentes.

<R+>
_`[{duas imagens: a primeira mostra uma mulher apontando para uma cerca com quatro moures vistos de frente. A mulher diz: "V-se que 
as distncias entre os moures so iguais e que todos tm a mesma altura". A segunda imagem mostra uma mulher apontando para a cerca 
com seis moures de um ponto em que o quarto mouro vai se distanciando. A mulher diz: "Aqui, essas distncias vo diminuindo. As 
alturas dos moures tambm"_`]
<R->

  Note que, na perspectiva,  medida que as paralelas vo se aproximando, os comprimentos entre elas vo diminuindo.
<174>
<p>
  Agora que voc j sabe tudo isso, veja como desenhar um cubo em perspectiva:

<R+>
_`[{figuras no adaptadas_`]

 Primeiro, desenhe a linha horizontal *h* e o ponto F sobre ela. A face da frente do cubo ser um quadrado com dois lados paralelos a *h*.
 Ligue os vrtices do quadrado com F. Isso porque algumas arestas do cubo, se prolongadas, dirigem-se ao ponto de fuga.
 A face posterior do cubo  paralela  face da frente. Para traar as duas arestas paralelas a *h* e as duas arestas verticais, use esquadro e rgua.
 Cuidado! Para parecer um cubo, a dimenso indicada no deve ser muito grande nem muito pequena.
 No final, se quiser, voc pode apagar as linhas auxiliares e tambm as arestas escondidas.
<R->

  Com as poucas noes que vimos, voc poder fazer muitos desenhos interessantes usando a tcnica da perspectiva.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) O texto aponta algumas diferenas entre duas obras de arte. Quais so essas diferenas?
 b) Em que poca surgiu a perspectiva?
 c) Explique com suas palavras o que  desenhar em perspectiva.
 d) Que regras devemos usar para fazer um desenho em perspectiva? V dizendo todas de que se lembra.
 e) No desenho da toalha sob o prato, prolongando-se os lados no paralelos do trapzio, aonde eles vo se encontrar?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<175>
<p>
 Problemas e exerccios

_`[{para as atividades de 9 a 11, pea orientao ao professor_`]
 
 9. Desenhe em seu caderno um cubo em perspectiva. Siga estas indicaes.

_`[{figura no adaptada_`]

 10. Desenhe outro cubo em perspectiva. Ele deve estar  sua direita e ser visto por baixo.

_`[{figura no adaptada_`]

 11. Agora, desenhe em perspectiva um cubo formado por oito cubinhos. Capriche!

_`[{figuras no adaptadas_`]
<p>
 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 12 a 15, pea orientao ao professor_`]

 12. Em seu caderno, desenhe uma vista em perspectiva de trs cubos enfileirados. Os dois cubos da direita tm o mesmo tamanho; o da esquerda  maior. Observe as medidas indicadas.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 13. Decalque o desenho _`[no adaptado_`] do bloco retangular. A seguir, prolongue algumas arestas at encontrar o ponto de fuga. Depois, trace a linha do horizonte. Para decalcar a figura, coloque um papel fino sobre ela (talvez a folha de seu prprio caderno) e copie o desenho. Neste caso, recomenda-se o uso da rgua.
<p>
 14. Como voc sabe, as linhas tracejadas representam as arestas escondidas do cubo _`[no adaptado_`].
<176>
  Copie  mo livre os prximos desenhos _`[no adaptados_`]. Acrescente linhas tracejadas para mostrar as arestas ou contornos 
escondidos. (Informao: a base da pirmide tem quatro lados.)
 15. Agora voc deve criar! Inspire-se no exemplo _`[no adaptado_`] e desenhe algo magnfico em perspectiva: pode ser um prdio, 
um viaduto, uma cidade! Ou o que voc quiser.
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  representar formas espaciais sobre malhas;
  representar vistas em perspectiva de figuras tridimensionais simples.
<R->

<177>
 Um toque a mais

 Latitudes e longitudes

  A posio de pontos no plano pode ser indicada pelas *coordenadas cartesianas*. Na ilustrao _`[no adaptada_`], as coordenadas do ponto A so -1 e 2. As coordenadas do ponto C so 4 e -1.

<R+>
Procure no dicionrio: coordenadas cartesianas.
<R->

  As coordenadas cartesianas so parecidas com as coordenadas geogrficas.
  Estas so a *latitude* e a *longitude* e indicam a posio de qualquer lugar sobre a superfcie de nosso planeta. Nossa capital, Braslia, est situada, aproximadamente, na latitude sul de 16 (indicada pela linha horizontal) e na longitude oeste de 48 (in-
<p>
dicada pela vertical). Esses nmeros so as coordenadas geogrficas de Braslia.

_`[{mapa no adaptado_`]

  Entre as coordenadas geogrficas e as coordenadas cartesianas h diferenas. Uma delas  que as coordenadas geogrficas referem-se a ngulos, como se pode ver pelo smbolo de grau em 16 ou 48. Que ngulos so esses? Onde esto?
<178>
  Como voc acabou de aprimorar sua viso espacial aprendendo um pouco de perspectiva, poder compreender como so esses ngulos.
  Primeiro, vamos imaginar nosso planeta sendo cortado. Se a Terra fosse uma laranja, o corte seria esse que vemos a seguir.
<p>
<R+>
_`[{a imagem mostra uma laranja cortada na vertical, no centro h uma linha indo de uma extremidade a outra_`]
<R->

  O corte  feito por um plano que contm o eixo de rotao da Terra. Dessa forma, obtm-se um meridiano terrestre, que  a semicircunferncia em azul, com extremidades nos polos.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Agora, imagine a Terra cortada por um plano perpendicular a seu eixo. A circunferncia azul  um paralelo.

_`[{figuras no adaptadas_`]

<179>
  Assim, podemos imaginar uma rede de circunferncias e semicircunferncias sobre a superfcie terrestre. Em cada ponto dessa superfcie, passam um meridiano e um paralelo. A Linha do Equador, que  o paralelo de maior raio, divide a Terra em duas metades, chamadas hemisfrios Norte e Sul. A palavra *hemisfrio* vem da lngua grega e significa metade de uma esfera.

<R+>
_`[{figura da Terra destacando o eixo de rotao, a Linha do Equador, o paralelo de Braslia (B), o meridiano de Braslia, hemisfrio 
Norte, hemisfrio Sul, S (indicando o polo Sul)_`]
<R->

  Agora, chegaremos aos ngulos correspondentes  latitude e  longitude. Ainda pensando na Terra como se fosse uma laranja, vamos retirar um pedao dela.

_`[{figura no adaptada_`]

  O ngulo :?{b{o{e*, formado por dois raios, indica a *latitude* de Braslia. Ele mede 15 47 e, como a capital federal localiza-se no hemisfrio Sul, dizemos que sua latitude  15 47 S. Note que em todos os pontos do paralelo que passa por Braslia a latitude  15 47. Alm disso, um dos raios que formam o ngulo sempre tem extremo no Equador. Por isso, todos os pontos sobre a Linha do Equador tm latitude 0 e o polo Sul tem latitude 90.
  Para conceituar a longitude, foi preciso fazer um acordo. O Congresso Internacional de Geografia, realizado em Londres, em 1895, decidiu adotar como referncia o meridiano que passa pelo observatrio astronmico de Greenwich (leia grin-uitch), que fica prximo de Londres. Esse meridiano especial divide a Terra em leste e oeste. Agora, podemos entender a longitude. Veja a figura _`[no adaptada_`].
<180>
  O ngulo :?{a{o{e* que fica no plano do Equador e  formado tambm por dois raios  a *longitude* de Braslia. Ele mede 47 52 e, como Braslia localiza-se a oeste do meridiano de 
 Greenwich, dizemos que sua longitude  47 52 O. Note que todos os pontos do meridiano que passam por Braslia tm longitude Oeste 47 52. Alm disso, um dos raios que formam esse ngulo tem sempre uma extremidade no meridiano de Greenwich. Por isso, todos os pontos desse meridiano tm longitude 0.
  Graas s coordenadas geogrficas, navios no se perdem na superfcie da Terra e recebem socorro quando enfrentam problemas. Elas tambm permitem orientar os vrios satlites que tornam possvel a comunicao entre os mais diversos pontos do planeta. As coordenadas geogrficas constituem um forte exemplo de como algumas ideias matemticas bem utilizadas facilitam nossa vida e tornam o mundo mais seguro.
<p>
  Mostre que compreendeu este texto e que sabe procurar informaes:
<R+>
  Qual  o ponto do territrio brasileiro que possui a maior latitude norte?
  E qual possui a maior longitude leste?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

               oooooooooooo

<181>
<p>
 Captulo 10

 Clculo algbrico

 Deduzindo frmulas

  Estudando lgebra voc j trabalhou com diversas frmulas. Por exemplo, a do ndice de massa corprea, usada por mdicos, a do gasto de energia eltrica, importante para engenheiros e para o pblico em geral, ou a da massa aproximada do boi, que pode ser til para criadores de gado. Como  que essas frmulas so encontradas?
  Para obt-las, usamos raciocnio e clculo algbrico. Vamos examinar um caso.

 Custo da gua consumida

  Em certa cidade, o custo da gua consumida numa residncia  calculado de acordo com esta tabela:

<F->
 !::::::::::::::::::::::::::::
 l Consumo      _ Preo de   _
 l em m3     _  1 m3    _
 l               _  em R$   _
 r:::::::::::::::w:::::::::::::w
 l at 20       _ 2,50       _
 r:::::::::::::::w:::::::::::::w
 l acima de 20  _ 4,70       _
 h:::::::::::::::j:::::::::::::j
<F+>

  Veja o clculo da quantia a pagar Q, em reais, para um consumo de 29 m3:

<R+>
 Q=20.2,50+9.4,70
 20.2,50: preo dos 20 m3 iniciais
 9.4,70: preo do que excede 20 m3
 Q=50,00+42,30=92,30
<R->

  Quantia a pagar pelo consumo dos 29 m3: R$92,30.
  Como a companhia fornecedora de gua calcula a quantia a pagar de cada residncia?
  A residncia  visitada todo ms por um funcionrio da companhia, que l quanto foi consumido em um aparelho chamado hidrmetro (ou relgio de gua), em geral localizado na entrada da casa. A informao lida  digitalizada em um computador. Conforme o valor, o programa de computador faz o clculo usando duas frmulas: uma para consumo at 20 m3 e outra para consumo maior do que 20 m3.

<R+>
_`[{figura no adaptada de um hidrmetro seguida por legenda_`]
 Legenda: A rede de abastecimento de gua no cobre todas as residncias; por isso, nem todas possuem hidrmetro.
<R->

  A frmula para x<=20  bem simples: Q=2,5.x.
<182>
  A frmula para x>20  esta: Q=4,7x-44.

<R+>
_`[{a menina fala: "Essa no entendi. De onde vem esse -44?"_`]
<R->

  Essa segunda frmula parece estranha? Vamos ver como ela foi encontrada. Ou seja, vamos deduzir a frmula.
  Se x>20, a quantia a pagar deve ser calculada assim: 

 Q=20.2,50+4,70x-20
<R+>
 20.2,50: preo dos 20 m3 iniciais
 4,70x-20: preo do que excede 20 m3
<R->

  Efetuando as operaes, simplificamos a frmula. Siga com ateno:
 Q=50+4,70x-4,70.20
 Q=50+4,70x-94
 Q=4,7x-44
  Para conferir, podemos calcular Q para x=29, usando a frmula:
 x=29 m3
 Q=4,7x-44
 Q=4,7.29-44
  Efetuando os clculos, vamos obter o resultado j conhecido desde o incio deste exemplo: Q=92,30.
  Deduzimos a frmula da conta de gua e comprovamos que ela funciona. Voc viu como se fez a deduo nesse caso. Para desenvolver sua competncia em lgebra, e seu raciocnio em geral,  preciso que encontre sozinho algumas frmulas. Por isso, logo mais vamos propor problemas nos quais voc far as dedues.

<R+>
 Conversando sobre o texto
 
 a) Voc conhece alguma frmula usada em geometria?
 b) O que  um hidrmetro?
 c) A frmula Q=4,7x-44 tambm funciona para x=20 m3?
 d)  muito frequente as companhias de abastecimento de gua cobrarem menos por unidade, at certo nmero de metros cbicos, e depois cobrarem mais. Por que elas fazem isso? Quais as vantagens desse critrio?
<p>
 e) No caso da companhia de gua, qual  a utilidade de ter uma frmula para calcular a quantia a pagar?
 f) Considere novamente a sentena Q=20.2,50+4,70x-20. Como ficaria essa sentena se o preo, para consumo acima de 20 m3, fosse R$3,90 por metro cbico? 
 g) E como ficaria a sentena anterior, se fosse cobrado R$2,50 por metro cbico at 10 m3 e R$3,50 por metro cbico excedente?

<183>
 Problemas e exerccios

 1. Veja a tabela de preos de um estacionamento:
<p>
 !::::::::::::::::::::::::
 l Tempo      _ Preo em _
 l             _ reais     _
 r:::::::::::::w:::::::::::w
 l 1 hora    _ 6,00     _
 r:::::::::::::w:::::::::::w
 l horas       _ 3,00     _
 l   seguintes _           _
 h:::::::::::::j:::::::::::w
 l Frao de hora        _
 l   cobrada como hora     _
 l   inteira.              _
 h:::::::::::::::::::::::::j

 a) Quanto dever pagar o motorista que deixou seu carro estacionado por 3 h 20 min?
 b) Deduza uma frmula que fornea a quantia a pagar Q para um carro que ficou estacionado por *n* horas, com n >1.

 2. Simplifique a frmula:
 P=24n2+3n-4n+5.
<p>
 Resoluo

  Primeiro, distribumos as multiplicaes pelas parcelas:
 P=24n2+3n-4n+5
 P=8n2+6n-4n-20
  Note agora que: 6n-4n=2n.

_`[{o menino diz: "Claro! 6 vezes um nmero menos 4 vezes ele d 2 vezes o prprio nmero"_`]

  Assim, temos: P=8n2+
  +2n-20.

_`[{o menino fala: "No efetuamos a soma de 8n2 com 2n, porque n2 e *n* no representam o mesmo nmero. Lembre-se: s efetuamos a soma 
de $"coisas de mesmo tipo$""_`]

 3. Simplifique em seu caderno:
 a) F=3n+5-5n+2+7
 b) F=3n2-5n+1-
  -2n2+n+1
 c) G=2x2+2x+5-4x2-4
 d) M=3x-5+32x+4-x-8
<p>
 4. Copie e complete a tabela em seu caderno:

_`[{tabela adaptada em cinco colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: n
 2 coluna: n+n2
 3 coluna: 2n
 4 coluna: 2n2
 5 coluna: n3

 -3; 6; -6; 18; -27
 -1; '''; '''; '''; '''
 1; '''; '''; '''; '''
 3; '''; '''; '''; '''
 5; '''; '''; '''; '''

  Agora, responda comparando as linhas da tabela:
 a) n+n2  igual a 2n?
 b) n+n2  igual a 2n2?
 c) n+n2  igual a n3?
 d) n+n2 seria igual a n2+n?

 5. Pensei em um nmero *x*, elevei-o ao quadrado, somei 3 ao resultado, multipliquei a soma por 5 e acrescentei o dobro do nmero. Obtive um resultado R.
 a) Qual  o resultado R se x=3?
 b) Escreva uma frmula para o resultado R e simplifique-a.
 c) Use a frmula e obtenha R para x=-2.
 d) Faa o mesmo para x=#,c.

 6. Certos agricultores se especializam no cultivo de frutas. Considere uma planta frutfera que exija no plantio uma distncia de 1 m entre seu tronco e o da planta mais prxima, ou entre ele e a cerca. Nesse caso, um terreno de 4 m por 3 m, com as plantas dispostas em linhas e colunas, conteria apenas 6 plantas, como se v na figura:
<p>
_`[{figura adaptada_`]
 Legenda: o smbolo o representa um arbusto.
 
<F->
               4 m
         pcccccccccccccc
         l              _
         l  o  o  o  _
  3 m   l              _
         l  o  o  o  _
         l              _
         v--------------# 
<F+>

 a) Quantas dessas plantas podem ser dispostas dessa maneira em um terreno retangular de 8 m por 5 m?
 b) Escreva a frmula que d o nmero total T dessas plantas em um terreno retangular de *m* metros por *n* metros.

<184>
 Problemas e exerccios para casa

 7. Resolva os problemas. Em cada um, a soluo  uma expresso algbrica simplificada.
 a) No estoque de uma loja havia, no incio do dia, x-7 latas de determinado produto. Durante o dia, foram vendidas 15 latas desse produto e recebidas 2x+10, que haviam sido encomendadas ao fornecedor. Terminado o dia, qual a quantidade de latas no estoque?
 b) Um reservatrio tem 10.000 L de gua. A partir da zero hora, o reservatrio comea a perder 350 L por hora. Entretanto, tambm a partir da zero hora, o reservatrio passa a ser alimentado na razo de 200 L por hora. Aps H horas, quantos litros de gua restam no reservatrio?
 c) Um terreno retangular tem 8a metros de comprimento e 2b metros de largura. Nele, sero cravadas estacas para o plantio de uva. As estacas sero dispostas em linhas e colunas e a distncia entre uma estaca e sua vizinha ou entre ela e a cerca deve ser de 1 m. Quantas estacas sero cravadas? (*Nota*: *a* e *b* so nmeros inteiros e positivos.)

 8. Simplifique as frmulas em seu caderno:
 a) G=2x2-3x+1-
  -5x2+6x+8
 b) H=5x2+4x+2-
  -3x2+2x+1
 c) I=6x2-4x+1-
  -23x2-2x
 d) J=8x2-8x2+12x-
  -26x+1

 9. Volte ao exerccio anterior e calcule os valores de G e H para x=5. Depois, calcule H e I para x=0,5.

 10. Pensei em um nmero inteiro *n*, subtra seu triplo, multipliquei tudo por 4 e somei 12 vezes o valor de *n*. Obtive um resultado R.
 a) Escreva em seu caderno a frmula simplificada para obter R.
 b) Calcule R para n=-3.
 c) R pode ser um nmero negativo? Quando isso acontece? (Responda assim: quando *n* for...)

 11. Em certa cidade, os txis cobram R$1,50 por quilmetro rodado mais R$3,90 a bandeirada.

_`[{um homem diz: "Assim, se voc andar zero km, j paga R$3,90"_`]

 a) Quanto se paga por uma corrida de 3,5 km?
 b) E por uma corrida de 20 km?
 c) Escreva uma frmula para calcular a quantia a pagar Q numa corrida de *x* quilmetros.
 d) Se o custo de uma corrida foi R$17,40, quantos quilmetros foram rodados? *Dica*: na sua frmula, escreva 17,40 no lugar de Q e resolva a equao resultante.

 12. O senhor Silva pediu C reais emprestados, pagando a cada ms *juro* de 4% sobre o valor emprestado.
 a) Se a quantia C  igual a R$20.000,00, quanto o senhor Silva pagar de juros em cinco meses?
 b) Aps *n* meses, ele ter pagado a quantia J de juros, em reais. Diga qual destas  a frmula que d o valor de J:
 J=4.C.n
 J=0,04.C.n
 J=0,04.C+n

Procure no dicionrio: juro simples.

 13. Cada embalagem de 2 L de certo refrigerante custa R$1,70 e cada garrafa de 500 mL, de determinada bebida isotnica, custa R$2,10. 
Apresente a frmula que d o preo P de *x* embalagens desse refrigerante e 2x embalagens dessa bebida isotnica. No deixe de simplificar 
a frmula.
<R->

<185>
 Clculos algbricos

  J fizemos alguns clculos com expresses algbricas (tambm chamadas expresses literais) e voc tem alguma noo do assunto. Entretanto, at aqui, no apresentamos em detalhes as regras desses clculos. Isso ser feito agora para ampliar sua habilidade de clculo.
  Se voc exercitar adequadamente os procedimentos, seus clculos fluiro com mais facilidade e certos aspectos da Matemtica ficaro mais fceis. Mesmo assim, vez ou outra voc vai se enganar ou ficar em dvida. Nada h de errado nisso: essas dificuldades fazem parte de qualquer aprendizado. Conte sempre com a ajuda de seu professor.
<p>
 Multiplicaes e divises
  algbricas

<R+>
_`[{no quadro-de-giz esto vrias equaes e o professor explica_`]
 1 equao: No quadro-de-giz est escrito: "x.x=x2" e "x.y=xy"; o professor diz: "Estas so bvias".
 2 equao: O professor apontando para o quadro-de-giz, onde est escrito: "-3x2-
  -2x3=6x5", fala: "-3 vezes 2  -6. x2 vezes x3  x5, pois, neste caso, somamos os expoentes!".
 3 equao: No quadro-de-giz est escrito: "2x2x+3y=
  =2x3+6x2y"; o professor diz: "Aqui, eu distribu a multiplicao pelas parcelas".
 4 equao: O professor apontando para o quadro, onde est escrito: "18x56x2=
  =3x3", diz: "Veja como divido: 18 dividido por 6 d 3; x5 dividido por x2 d x3".
 5 equao: O professor diz: "Agora, usei a diviso para simplificar uma frao". No quadro-de-giz est escrito: "18x6x=3" e "6x36x=
  =x2", ou seja, "18x6x3=
  =3x2". O aluno comenta: "1x2  o mesmo que x2".
<R->

<186>
 Adies algbricas

  Na lgebra, a expresso adio algbrica inclui tambm subtraes. O motivo  que toda subtrao pode ser reduzida a uma adio 
com a expresso oposta. Por exemplo, 2x-x+4  o mesmo que 2x+-x-4 ou 2x-x-4.

<R+>
_`[{o professor diz: "Que tal essa adio algbrica?"; no quadro-
  -de-giz est escrito: "4x3y+
  +5x2yz-x3y+3x2yz=". O aluno fala: "Muito complicado!"_`]
<R->

   primeira vista, a aparncia dos clculos algbricos pode intimidar, dando a impresso de que eles so complicados. Entretanto, 
s vezes, eles s parecem complicados. Veja, por exemplo, o clculo que o garoto achou complicado. Nele, s h dois tipos de parcelas 
na parte literal: x3y e x2yz. Ou seja, essa assustadora expresso algbrica equivale a esta outra, bem mais simples: 4a+5b-a+3b. 
(Trocamos x3y por *a* e x2yz por *b*, percebeu?)
  Agora, compare os clculos:
 4a+5b-a+3b=
  =3a+8b
 4x3y+5x2yz-x3y+3x2yz=
  =3x3y+8x2yz
  Nos exemplos que vimos, s apareceram nmeros inteiros multiplicando as variveis. Vamos ver um caso em que aparecem fraes.
<p>
<R+>
_`[{no quadro-de-giz est uma soma algbrica e o professor explica_`]
 mmc8; 12=24
 38x-512y+x=
  =924x-1024y+2424x=
  =?9x-10y+24x*24=
  =?33x-10y*24

_`[{o professor explica: "Trocamos as fraes por fraes equivalentes de mesmo denominador. Depois, efetuamos a soma algbrica"_`]
<R->

<187>
  Agora, para terminar, preste ateno neste outro clculo. O principal detalhe a lembrar  o sinal menos que antecede a frao:

<R+>
_`[{no quadro-de-giz est uma operao e o professor explica_`]
 2x-?x-4*4=
  =?8x-x-4*4=
  =?8x-x+4*4=
  =?7x+4*4
<p>
_`[{o professor explica: "Estes parnteses so necessrios. O sinal menos agora precede a expresso x-4. O oposto da expresso x-4  a 
expresso -x+4"_`]

 Conversando sobre o texto

 a) Vamos exercitar clculo mental com as expresses algbricas. Diga qual  o resultado:
 x2.x3
 2x.3x
 6xx
 12x24
 x2+2x2
 x2+x3
 7x2-15x2
 3xy-7xy
 b) Para efetuar x2 vezes x3, que propriedade das potncias foi usada?
 c) Escreva, em seu caderno, uma expresso algbrica equivalente a 73x2yz+3y2z-85
  x2yz-115y2z. Use somente as variveis *s* e *t*, sendo s=x2yz e t=y2z. Depois, simplifique a expresso.
 d) Invente uma expresso algbrica em que aparea um sinal menos na frente de parnteses. Mostre como simplificar a expresso.
 e) Quais so as aplicaes dos clculos algbricos? Vamos apresentar quatro e voc escolhe as duas mais imediatas: 
  1) construir pontes; 2) resolver equaes; 3) simplificar frmulas; 4) aumentar o lucro de uma empresa.

 Problemas e exerccios

 14. Veja a dvida do rapaz.

_`[{o rapaz pergunta: "3a mais 8b d 11ab?"_`]

  Para responder, imagine que a=2 e b=3.
 a) Quanto vale 3a+8b?
 b) Quanto vale 11ab?
 c) Agora, responda  pergunta do rapaz.

<188>
 15. Efetue os clculos em seu caderno, simplificando as expresses:
 a) 5x2.2x4
 b) 3+2x-x+5
 c) x2-xx+3+x2+x
 d) 2x2+3y-4x+5y-3y+2

 16. Comece por simplificar as fraes e, depois, efetue os clculos indicados. (Por exemplo, simplificando x52x2, voc obtm x32.)
 a) 4x24x-5x
 b) x52x2.3x5
 c) yy.x
 d) ?x3y2z*?x3y2z*.x

 17. Efetue os clculos em seu caderno. Nos itens c) e d), tome cuidado com os sinais. *Dica*: um clculo parecido com estes est na pgina 556.
<p>
 a) #;c#=f
 b) 23x-76x
 c) 5-?1+2a*2
 d) 5x-?x+2*3

 18. Na parte A desta questo, voc deve ler a explicao de como se resolve determinado problema. Na parte B, voc usa o que aprendeu nessa leitura.
  *Parte A*. Veja um modelo de caixa de papelo sem tampa:

<F->
       pcccccccccc
       l          _ x2
       l          _   
 pcccccpccccccccccccccc
 l     l          _     _ 
 l     l          _     _
 l     l x        _     _  
 l     l          _     _
 l     l     x    _     _
 v-----v----------#-----# 
       l          _
       l          _
       v----------# 
<F+>
<p>
  Encontre a frmula que fornece a rea de papelo utilizado nessa caixa.

 Resoluo

  Devemos somar a rea de um quadrado com as reas de quatro retngulos iguais.

<F->
           x
      pcccccccccc
      l          _ 
      l          _
   x  l          _ rea: 
      l          _ x.x=x2  
      l          _
      v----------# 
      l          _
 x2 l          _ rea: 
      v----------# x.x2=x22
<F+>

  A rea total :
 A=x2+42.x221=x2+
  +2x2=3x2
<p>
  Observe que  possvel constatar, na figura seguinte, que a rea total  realmente 3 vezes x2.

<F->
       pcccccccccc
       l          _ 
       l          _   
 pcccccpccccccccccccccc
 l     l          _     _ 
 l     l          _     _
 l     l          _     _  
 l     l          _     _
 l     l          _     _
 v-----v----------#-----# 
       l          _
       l          _
       v----------# 
<F+>

<F->
 pccccpccccpcccccccccccccpcccc
 l    l    l         _    l    _
 l    l    l         _    l    _
 l    l    l         _    l    _
 l    l    l         _    l    _
 l    l    l         _    l    _
 v----v----v---------#----v----# 
  x2 x2      x    x2  x2
<F+>

  *Parte B*. Observe a montagem de outra caixa sem tampa:

<F->
       pcccccccccc
       l          _ x-10
       l          _   
 pcccccpccccccccccccccc
 l     l          _     _ 
 l     l          _     _
 l     l x        _     _  
 l     l          _     _
 l     l     x    _     _
 v-----v----------#-----# 
       l          _
       l          _
       v----------# 
<F+>

<189>
  Agora, encontre a frmula para a rea A de papelo gasto na caixa, tal como foi feito na parte A.
  Depois, obtenha a frmula para a capacidade C da caixa. (Para isso, basta multiplicar a rea da base da caixa por sua altura.)

 19. As trs parcelas da adio algbrica 7a-2a+3a so semelhantes, porque tm a mesma varivel. Aps a adio, ficamos com uma s 
parcela: 7a-2a+3a=#h~a.

_`[{o professor diz: "Efetuando a adio, reduzimos os termos semelhantes"_`]

  Percebeu o que significa *reduo de termos semelhantes*? Ento, faa essa reduo nas expresses seguintes.
 a) 3x2-5x+xx2-3
 b) 7x2-3x+5+2xx-3
 c) 5x+1-x-2-7x+3
 d) xy-3x2y+xy2-3x2y5

 Procure no dicionrio: reduo de termos semelhantes.

 20. Invente uma expresso algbrica (como, por exemplo, a 19 b) para ser simplificada por meio de uma reduo dos termos semelhantes. Troque sua expresso com a de um colega para que cada um simplifique a do outro. Destroquem para fazer a correo.

 Problemas e exerccios para casa

 21. Efetue em seu caderno os clculos indicados:
 a) 35x.23x2
 b) 28x57x2
 c) 35xy2z5xyz
 d) 3xy2z.3xy2

 22. Reduza os termos semelhantes:
 a) 3x2-4y2+7x2-3y2+
  +7xy
 b) xy-2xy-3x+5y+7y
 c) ab+3b2-7ab+b3-10ab
 d) 0,5xy-2,3xy-6x+5,2y+7,1y

 23. Reduza os termos semelhantes. *Dicas*: na primeira expresso, voc deve comear distribuindo a multiplicao: 2x ser multiplicado 
por *x* e por -5, obtendo-se 2x2-10x. Na ltima expresso, colocando tudo sobre o denominador 18, voc ter ?3a-b-a-b-
  -...*18
 a) 2x2-4x+2xx-5
 b) 5x2-7x-2x3x-4
 c) 7a4-b2+a6-5b3+a4
 d) ?a-b*6-?a-b*18-?a-b*2

 24. Em seu caderno, reduza os termos semelhantes. No se intimide com o tamanho das expresses! Voc no ter dificuldades se as comparar com as do exerccio anterior.
 a) 7x2y34-x4y42+
  +x2y36-5x4y43+
  +x2y34
 b) ?xy2-z3*6-?xy2-z3*
  18-?xy2-z32

 25. Pense em um nmero natural de 10 at 19. Some os algarismos e subtraia essa soma do nmero pensado.
<p>
_`[{o professor diz: "O nmero pensado pode ser 11... pode ser 17... O resultado  sempre o mesmo"_`]

 a) Qual  esse resultado?
 b) Usando lgebra, demonstre que o resultado  sempre o mesmo. *Orientao*: o nmero de 10 a 19 pode ser representado como 10+a e a soma de seus algarismos como 1+a.
 c) Qual ser o resultado, se o nmero pensado estiver entre 20 e 29?

<190>
 26. Um tanque com 8.000 L de combustvel comea a ser esvaziado s 4 h de certo dia  razo de 400 L por hora. Quantos litros de combustvel haver no tanque na hora *x* desse dia? Note, pelo contexto, que devemos ter x>=4 e x<=24. *Dica*: pode-se comear escrevendo uma frmula do tipo Q='''-'''400, a qual dever ser simplificada.

 27. A moldura que envolve o retngulo da figura tem largura *x*.

<F->
 pcccccccccccccc
 l              _
 l   pcccccc   _
 l   l  30 _   _
 l   l      _   _
 l   l      _   _ 
 l x l   50_   _
 l   l      _   _ 
 l   l      _   _
 l   l      _   _ 
 l   v------#   _
 l      x       _
 v--------------# 
<F+>

 a) Deduza uma frmula para rea A da moldura, em funo de *x*. *Dica*: considere a moldura formada por quatro quadrados de lado *x*, dois retngulos de lados *x* e 30 e mais ... bem, o final  com voc.
 b) Se x=10 cm, qual  a rea da moldura?

 28. Na figura seguinte, temos um esboo de uma base de concreto, sobre a qual sero colocadas esculturas num parque. Ela tem a forma 
de um bloco retangular com um cubo em cima.

_`[{figura adaptada: Um bloco retangular com comprimento *x*, lagura *x* e altura x2; em cima h um cubo com aresta x2_`]

 a) Deduza a frmula do volume V da pea.
 b) Se x=2 m, quantos metros cbicos de concreto so necessrios para fazer a pea?
 c) Se x=4 m, quantos metros cbicos de concreto so necessrios para fazer a pea?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
 29. Leia:

_`[{o professor diz: "Veja uma frmula para a adio de fraes". No quadro-de-giz est escrito_`]
 ab+cd='''
 denominador comum: bd
 ab=adbd; cd=bcbd
 Portanto: ab+cd=adbd+bcbd=
  =?ad+bc*bd"

_`[{um aluno diz: "Puxa! Com nmeros  bem menos complicado!". Outro aluno fala: "Mas  isso que a gente faz com nmeros!"_`]

  No se intimide com as letras. O garoto tem razo: as operaes indicadas so as mesmas que so feitas com nmeros. Sabendo disso, escreva uma frmula para cada uma das operaes seguintes. *Dica*: note que, sejam quais forem os denominadores *b* e *d*, um denominador comum  bd.
<p>
 a) ab-cd
 b) ab.cd
 c) abcd
<R->

<191>
 Produtos de polinmios

  *Mono, bi, tri*... Voc conhece estes prefixos?
  *Mono* indica um, *bi* indica dois, *tri* indica trs e *poli* indica muitos. Sabendo disso, voc pode compreender o nome das expresses algbricas seguintes.
 3x2y: monmio
 2x+yz3: binmio
 x2y+5xz3+6: trinmio
  Binmio vem do Latim 
 *binomium* e significa dois nomes. Por extenso, designa duas partes, dois termos. As palavras trinmio e polinmio seguem o mesmo padro.
  Em lgebra, h o costume de chamar de expresso polinomial ou polinmio no s as expresses com mais de trs parcelas. Monmios, binmios e trinmios tambm so chamados polinmios, assim como tringulos e quadrilteros tambm so chamados polgonos.

<R+>
_`[{a menina pergunta: "Ento, qualquer expresso algbrica  polinmio?". O professor responde: "No. A expresso no quadro-de-giz no  polinmio.  uma frao algbrica. Note que seu numerador e seu denominador so polinmios". No quadro-de-giz est escrito: 
"?x2-3x+1*?5x-2* -- frao algbrica"_`]
<R->

  Apresentamos todos esses nomes porque vamos mostrar um novo tipo de clculo algbrico: trata-se da multiplicao de polinmios.
<p>
<F->
 cccpccccccccccccccccccccc
    l                     _
 2 l                     _
 :::l                     _
    l                     _
    l                     _
    l                     _
 x  l                     _
    l                     _
    l                     _
 ---v---------------------#
    l           _         _
    l     x     _    3   _
<F+>

  No clculo da rea deste retngulo, aparece uma multiplicao de polinmios. A rea do retngulo : A=x+2.x+3.
  Como efetuar essa multiplicao? Uma maneira  dividir o retngulo em partes, achar a rea de cada parte e som-las todas. Veja:
 A=x+2x+3=x2+2x+3x+6=
  =x2+5x+6
<p>
<F->
 cccpcccccccccccccccccccc
    l           _         _
 2 l   2.x    _ 3.2=6_
 :::r:::::::::::w:::::::::w
    l           _         _
    l           _         _
    l           _         _
 x  l   x2    _  3.x   _
    l           _         _
    l           _         _
 ---v-----------#---------#
    l           _         _
    l     x     _    3   _
<F+>

<192>
  Outra maneira de obter o produto  numrica, em vez de geomtrica. Repete-se o que se faz no produto de dois nmeros naturais. Observe:

<R+>
 1512=30+150=180
 30: resultado de 215
 150: resultado de 1015

 Acima, temos a maneira habitual de efetuar 1215.
<p>
 Voc multiplica o fator 15 por 2, depois, por 10 e, no final, soma os resultados.
 Em outras palavras: duas vezes 15 mais dez vezes 15 resultam em 12 vezes 15.
<R->

  Esse mesmo clculo pode ser indicado na horizontal. Veja:
<R+>
  12.15  o mesmo que 10+2.15;
  distribuindo o fator 15 pelas parcelas 2 e 10, temos:
 10+2.15=10.15+2.15=
  =150+30=180
<R->
  A multiplicao de dois polinmios pode ser feita de modo anlogo, usando a propriedade distributiva. Por exemplo, na multiplicao de x+3 por x+2, podemos distribuir o fator x+2 pelas parcelas *x* e 3. A seguir, aplicamos novamente a propriedade distributiva. Observe:
 x+3x+2=xx+2+3x+2=
  =x2+2x+3x+6=x2+5x+6
<p>
  Essa multiplicao pode ser efetuada de modo um pouco mais resumido. Assim:

 x+3x+2=x2+2x+3x+6=
  =x2+5x+6
<R+>
 x2+2x: resultado de *x* vezes x+2.
 3x+6: resultado de 3 vezes x+2.

 Conversando sobre o texto

 a) O binmio poluio-desperdcio precisa ser combatido pelas sociedades. Nessa frase, o que significa a palavra binmio?
 b) Como se distingue um binmio de um trinmio?
 c) D um exemplo de um polinmio com quatro termos.
 d) D um exemplo de uma frao algbrica.
<193>
 e) Qual  a diferena entre um polinmio e uma frao algbrica?
 f) No texto, o resultado de uma multiplicao de polinmios foi obtido geometricamente. Explique no quadro-de-giz como efetuar x+5.x+7 geometricamente.
 g) Usando a distributividade, podem-se efetuar multiplicaes mentalmente. Usando esse mtodo, calcule mentalmente:
 12.13; 12.21; 12.25; 13.15; 13.21; 15.25.
 h) Efetue x+3.x-5, usando a distributividade.

 Problemas e exerccios

 30. Efetue em seu caderno:
 a) x+2x+7
 b) x-2x-7
 c) x2-1x+5
 d) x+yx+2
<p>
 31. Observe o exemplo:
 x-2x2+2x+4=x3+2x2+
  +4x-2x2-4x-8=x3-8
  Agora, efetue as multiplicaes em seu caderno, simplificando os resultados.
 a) x-3x2+5x+6
 b) 4y+52y2-3y+6

 32. Atenda a estes pedidos:
 a) Subtraia do produto de x+1 por x-1 o monmio x2 e informe o resultado final.
 b) Some o quadrado de x-5 (esse quadrado  o resultado de x-5 multiplicado por x-5) com o binmio 10x-25 e calcule o valor da expresso resultante para x=3. Que nmero se obtm?

 33. Examine a figura do quadrado e faa o que se pede.
<p>
<F->
    pcccccccccccccccccccc
    l      _              _
    l      _              _
 b  l      _              _
    l      _              _
    l      _              _
    l      _              _
    l      _              _
    r::::::w::::::::::::::w
    l      _              _
 a  l      _              _
    v------#--------------#
       a           b
<F+>

 a) D a rea do quadrado escrevendo o produto de dois polinmios.
 b) Obtenha a rea do quadrado somando as reas das quatro partes em que ele foi dividido.
 c) Qual  o resultado de a+b2?

 34. Ana e Paulo calcularam a rea da moldura colorida do retngulo de maneiras diferentes.

<F->
 pcccpccccccccc
 l   l      _   _
 lcccpccccccccc_
 l   l  30 _   _
 l   l      _   _
 l   l      _   _ 
 l x l   50_   _
 l   l      _   _ 
 l   l      _   _
 l   l      _   _ 
 l---v------#---_
 l   l  x   l   _
 v---v------v---# 
<F+>

<194>
  Ana somou a rea dos dois retngulos de lados 30 e *x*, com a rea dos dois retngulos de lados 50 e *x*, com a rea dos quatro quadrados de lado *x*. Obteve:
A=2.30.x+2.50.
  .x+4.x2. Paulo calculou a rea total da figura e subtraiu a rea do retngulo branco interno: A=30+2x50+2x-
  -30.50.
  Como ter certeza de que as duas expresses so iguais? Use o que voc sabe sobre clculo algbrico para confirmar essa igualdade.
 35. Resolva a equao: 
 x+32=x+2x+5
  *Dica*: calcule o produto; depois, subtraia x2 dos dois lados da igualdade; o restante  fcil.

 Problemas e exerccios para casa

 36. Copie e complete em seu caderno:
 a) 10+325='''25+'''25=
  ='''+'''='''
 b) 20+125='''25+'''25=
  ='''+'''='''

 37. Observe as expresses e, depois, responda em seu caderno:
 2x; ?x+2*x; x2+3x+1; xy-2x+3y; ?a2-1*?a+1*; 5y2z2u; 6.x5; x+#a~a.
 a) Quais dessas expresses algbricas so monmios?
 b) Quais delas so polinmios?
<p>
 38. Efetue em seu caderno:
 a) x+52 (Lembre-se: x+52  x+5 multiplicado por x+5.)
 b) x-52
 c) a+b+ca+b+c
 d) x-y2
 e) 3x+22
 f) a2-43a3-2a+1

 39. Faa o que se pede.
 a) Some o dobro da expresso 1+xy com o produto de x+1 por y+1 e, depois, com a expresso -x-y. Qual  o resultado final?
 b) Do resultado de y+5 vezes y-1 subtraia y2+3y (ou some o oposto da expresso y2+3y) e informe o resultado final.
<p>
 40. Veja:

<F->
    pcccccccccccccccccccccccccc
    l           _               _
 2 l  2x      _    12        _
    l           _               _
    r:::::::::::w:::::::::::::::w 
    l           _               _
    l           _               _
 x  l  x2     _    6x        _
    l           _               _
    l           _               _
    l           _               _
    v-----------#---------------# 
         x            6   
<F+>

 rea do retngulo:
 x+2x+6 ou x2+8x+12

  Exprimimos a rea do retngulo de duas maneiras. Faa o mesmo com estas figuras:
<p>
 a)

<F->
    pccccccccccccccccccccccc
    l                 _      _
 2 l                 _      _
    r:::::::::::::::::w::::::w 
    l                 _      _
    l                 _      _
 x  l                 _      _
    l                 _      _
    v-----------------#------# 
         2x              2   

b)

    pcccccccccccccccccccccccc
    l     _     _     _         _
 2 l     _     _     _         _
    r:::::w:::::w:::::w:::::::::w 
    l     _     _     _         _
    l     _     _     _         _
 x  l     _     _     _         _
    l     _     _     _         _
    v-----#-----#-----#---------# 
      x     x     x       4   
<F+>

<195>
<p>
 41. Esta questo  um desafio! Um jardim quadrado, com lados de *x* metros, foi ampliado da seguinte maneira: um dos lados foi aumentado em 3 metros (podendo ser indicado por x+3); o outro lado foi aumentado em 5 metros. Assim, o jardim ficou retangular.
 a) Escreva em seu caderno o polinmio que indica a nova rea do jardim.
 b) Subtraia da nova rea a antiga. Assim voc ter o polinmio que indica a diferena das reas.
 c) Sabendo que a diferena entre a nova rea e a antiga  31 m2, descubra a medida *x*.

_`[{o professor diz: "Neste problema, faa uma figura. Ajuda muito! Para responder ao item c), resolva uma equao"_`]
<R->
<p>
 Produtos notveis

  Voc j aprendeu a multiplicar polinmios. Saiba, ento, que algumas dessas multiplicaes aparecem com muita frequncia em clculos 
algbricos (na deduo de frmulas, na resoluo de equaes etc.). Devido a isso, os resultados dessas multiplicaes so chamados 
produtos notveis. Vamos lhe mostrar trs deles.

 Quadrado da soma de dois termos

  So exemplos dessas multiplicaes: a+b2 ou x+32. Efetuamos uma delas:
 a+b2=a+b.a+b=a2+ab+ba+
  +b2=a2+2ab+b2
  O produto notvel obtido a2+2ab+b2  chamado trinmio quadrado perfeito.
  Esses clculos algbricos, relativos ao trinmio quadrado perfeito, podem ser representados por 
<p>
um quadrado geomtrico. Como exemplo, 
vejamos a representao de x+32=x2+6x+9.

<R+>
 Imagine um quadrado de lado *x* (rea x2).

<F->
   pccccccccc
   l         _
 x l  x2   _
   l         _
   l         _
   v---------# 
<F+>

 Acrescente dois retngulos iguais, tendo lados 3 e *x* (rea 3x).

<F->
                     3
    pccccccccc   pccccc
    l         _   l     _
  x l  x2   _   l 3x _ 
    l         _   l     _
    l         _   l     _
    v---------#   v-----# 
<p>
    pccccccccc
 3 l   3x   _
    l         _       
    v---------#
<F+>

 Para terminar, acrescente um quadrado de lado 3 (rea 9).

<F->
                     3
    pccccccccc   pccccc
    l         _   l     _
  x l  x2   _   l 3x _ 
    l         _   l     _
    l         _   l     _
    v---------#   v-----# 

    pccccccccc   pccccc
 3 l   3x   _   l 9  _
    l         _   l     _
    v---------#   v-----#
<F+>
<R->

  Percebeu que a figura final  um quadrado de lado x+3, cuja rea  o trinmio quadrado perfeito x2+6x+9?

<196>
<p>
 Quadrado da diferena de dois
  termos

  Essa multiplicao  parecida com a anterior. Em vez de uma soma, agora temos uma diferena, como nestes casos: a-b2 ou x-32. Acompanhe:
 a-b2=a-b.a-b=a2-ab-ba+
  +b2=a2-2ab+b2
  O produto notvel obtido tambm  chamado trinmio quadrado perfeito. Neste caso, ele  o quadrado de uma diferena.

 Produto da soma pela diferena
  de dois termos

  So exemplos de multiplicaes desse tipo: a+ba-b ou x+3x-3. Acompanhe o clculo:
 a+b.a-b=a2-ab+ba-b2=
  =a2-b2
<p>
  O produto notvel obtido  chamado *diferena de dois quadrados*.

 O que fazer com os produtos
  notveis?

  No campo dos clculos numricos, tambm existem produtos notveis. So os resultados das tabuadas, isto , resultados de clculos como 54 ou 78. Esses clculos so to notveis que a maioria das pessoas que passaram pela escola os conhece de cor. Isso  til para fazer outros clculos, tais como as multiplicaes de nmeros maiores.
  H pontos em comum entre os produtos notveis da aritmtica e os da lgebra.  conveniente que voc aprenda a obter os produtos notveis algbricos e que tambm decore esses resultados. Isso facilitar a execuo de certos clculos algbricos que aparecero na Matemtica e em outras disciplinas, sobretudo no Ensino Mdio.
  Entretanto, a memorizao dos produtos notveis no precisa ocorrer de imediato, ela vem com o tempo. Nas atividades seguintes, voc examinar melhor esses produtos, absorver seus padres e ver que, se quiser,  fcil t-los na memria.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) O que  uma pessoa notvel? E um produto notvel?
 b) O nome diferena de dois quadrados se aplica a um dos produtos notveis. Explique a razo desse nome.
 c) A expresso a2+2ab+b2  um trinmio quadrado perfeito. Por que trinmio? Por que quadrado perfeito?
 d) A expresso x2+6x+9 tambm  um trinmio quadrado perfeito? (Antes de responder, compare-a com a2+2ab+b2.)
 e) Voc v alguma utilidade nos produtos notveis?

<197>
 Problemas e exerccios

 42. Vamos examinar o quadrado da soma de dois termos.
 a) Efetue os clculos e complete a tabela em seu caderno:

<F->
 !::::::::::::::::::::::
 l clculo   _ resultado _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l `(a+b`)2  _ '''       _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l `(x+y`)2  _ '''       _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l `(x+3`)2 _ '''       _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l `(x+4`)2 _ '''       _
 h:::::::::::j:::::::::::j
<F+>

 b) Preenchendo a tabela, voc deve ter notado que os resultados obtidos tm sempre um mesmo padro. Dos padres a seguir, qual  o 
que corresponde a `(y+wr`)2?
<p>
 y2+wr2
 y+ywr+wr
 y2+ywr+wr2
 y2+2ywr+wr2
 y2-2ywr+wr2

 c) Com suas palavras, descreva em seu caderno o padro escolhido. Comece assim:
  *Elevando ao quadrado uma soma de dois termos, vamos obter...*

 43. J nos referimos ao padro do quadrado de uma soma. O padro do quadrado de uma diferena  muito parecido. Qual  o padro para 
`(y-wr`)2? Responda usando esses smbolos y e wr.

 44. As multiplicaes seguintes tambm tm um padro interessante. Copie e complete a tabela em seu caderno:
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::
 l Multiplicao _ Resultado _
 r::::::::::::::::w::::::::::::w
 l a+ba-b     _ '''        _
 r::::::::::::::::w::::::::::::w
 l x+1x-1   _ x2-1    _
 r::::::::::::::::w::::::::::::w
 l x+5x-5   _ '''        _
 r::::::::::::::::w::::::::::::w
 l x+yx-y     _ '''        _
 r::::::::::::::::w::::::::::::w
 l x-yx+y     _ '''        _
 h::::::::::::::::j::::::::::::j

 45. Trs alunos fizeram o exerccio anterior e descreveram o padro que observaram:

_`[{o menino diz: "A soma de dois nmeros vezes a diferena deles d o quadrado de cada nmero". A menina fala: "A soma vezes a 
diferena de dois nmeros d a diferena deles". E a outra menina diz: "A soma vezes a diferena de dois nmeros d a diferena de 
seus quadrados"_`]

  Qual dos trs acertou?

 46. Veja como efetuar mentalmente a multiplicao 10298. Escrevemos 100+2 no lugar de 102 e 100-2 no lugar de 98 e aplicamos a 
frmula A+BA-B=A2-B2, isto , usamos um dos produtos notveis. Veja: (100+2)(100-2)=
  =1002-22=10.000-4=
  =9.996.
  Efetue dessa mesma maneira:
 a) 105.#ie
 b) 42.38

 47. Efetue da maneira que desejar:
 a) x-72
 b) 2x+12
 c) x+7x-7
 d) 2x+32

<198>
<p>
 Problemas e exerccios para casa

 48. A seguir temos um quadrado cuja rea  m2+8m+16.

<F->
    pcccccccccccccccccccccc
    l       _               _
    l  m2 _    4m        _
    l       _               _
    r:::::::w:::::::::::::::w 
    l       _               _
    l       _               _
    l  4m  _    16        _
    l       _               _
    l       _               _
    l       _               _
    v-------#---------------# 
<F+>

  Observando a figura atentamente, diga quanto mede o lado desse quadrado.

 49. A seguir temos alguns produtos notveis. Voc deve descobrir quais foram as multiplicaes que resultaram neles.
 a) y2-49
 b) r2+2rs+s2
 c) y2-2y+1
 d) a4-1

 50. Copie e complete o texto, trocando ''' pela expresso adequada:
  O resultado de xy-11xy+11  o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo. O quadrado do primeiro termo  ''' e o 
do segundo  ''' Portanto, o resultado  '''
 51. Faa como no exerccio anterior:
  O quadrado de 3x+5  o quadrado do primeiro termo, que  ''', mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, que d ''', mais o 
quadrado do segundo termo, que  ''' Portanto, (3x+5)2='''+'''+'''

 52. Efetue:
 a) x-42 
 b) 2x-52x+5 
<p>
 c) 2x-52
 d) 3x+12

 53. Um agricultor plantou ps de macaxeira de acordo com a disposio da figura:

<F->
               n
   pcccccccccccccccccccc...
   l    _     _   
   l1 m_1 m _ 
   r::::o::::o::::o
   l1 m_ 1 m_
   l    _     _
 m r::::o::::o::::o
   l
   l
   .
   .
   .
<F+>

 a) Quantos ps de macaxeira foram plantados se a distncia *n* corresponde a 4 metros e *m* corresponde a 5 metros?
 b) Escreva e efetue a multiplicao que d a quantidade de ps de macaxeira em um arranjo quadrado de *n* metros de lado (*n*  nmero natural).

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

 Fatorao

  Fatorar significa decompor em fatores. Voc j aprendeu a decompor um nmero em seus fatores primos. Agora, vamos decompor expresses algbricas em seus fatores. Esse  um recurso de clculo muito til em diversos clculos algbricos. No momento, vamos utiliz-lo para simplificar expresses algbricas.
  Para entender a fatorao na lgebra, tente responder a esta questo: H alguma multiplicao que tem como resultado a expresso 2x2+2xy?
<p>
  A pergunta no  difcil. Fazendo um raio X da expresso, percebemos que cada uma de suas parcelas tem o fator 2x. Veja:
 2x2+2xy
 2x.x
 2x.y
<199>
  Dessa observao, descobrimos que 2x2+2xy pode resultar desta multiplicao:

 2x.x+y
 2x: fator
 x+y: fator

<R+>
_`[{o professor diz: " s distribuir a multiplicao que voltamos  expresso 2x2+2xy"_`]
<R->

  Assim, decompusemos em fatores a expresso 2x2+2xy. Ou, em outras palavras, efetuamos uma fatorao. Dizendo de outro modo ainda: transformamos uma soma de dois termos em uma multiplicao de dois termos 2x vezes x+y.
  Veja outro exemplo. Vamos fatorar 6x2y+9x2+12x. Note que 3  fator comum dos *coeficientes* 6, 9 e 12 e que *x*  fator comum da parte literal de todas as parcelas.
 6x2y+9x2+12x=3x2xy+
  +3x+4
 3x.2xy
 3x.3x.3x.4

<R+>
 Procure no dicionrio: coeficiente.
<R->

  J dissemos que a fatorao  til para simplificar frmulas. Veja como a usamos para simplificar expresses em forma de frao:
<R+>
  ?2xy+4y*2y=?2yx+2*
  2y=x+2
  ?4x3+6x2*?2x+3*=
  =?2x22x+3*?2x+3*=
  =2x2

_`[{o professor diz: "2x+3 dividido por ele mesmo d 1"_`]
<R->

  Nas fatoraes que vimos, destacamos o fator comum, colocando-o na frente da expresso. Quando fazemos isso, dizemos que colocamos o fator comum em evidncia. H casos em que h mais de uma possibilidade para o fator comum. Veja:
 4x3+6x2
 22x3+3x2
 x4x2+6x
 2x2x2+3x
 2x22x+3
  Como a fatorao  usada em simplificaes, em geral, prefere-se colocar o mximo possvel em evidncia. Assim, a fatorao mais completa de 4x3+6x2  2x22x+3 e  dessa forma que voc deve usar a fatorao nos exerccios e problemas, exceto em casos muito especiais.
  Para finalizar, acompanhe mais um caso:
<R+>
 ?x2+x*?4x2+x*=?xx+1*
  ?x4x+1*=?x+1*?4x+1*
<R->
  Aqui, *x* no pode ser 0, caso contrrio estaramos dividindo por 0, o que no  possvel. Como *x* dividido por *x* d 1 (desde que x=0), podemos simplesmente eliminar os fatores *x* do numerador e do denominador da frao.

<200>
 Por que no dividir por zero?

  Primeiro, veja que 202 d 10 porque 10.2=20.
  Assim sendo,  impossvel efetuar 200 porque nenhum nmero vezes 0 pode dar 20. (200 no  0 porque 0.0=0; 200 no  20 porque 0.20=0; e assim por diante.)
  O caso de 00  diferente:
<R+>
  00 poderia ser 0 porque 0.0=0
  00 poderia ser 3,2 porque 0.3,2=0
  00 poderia ser 51 porque 0.51=0
<R->
  Concluso: no se divide 0 por 0 porque o resultado no  nico.
<p>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) D exemplos de fatorao de nmeros, isto , de decomposio de nmeros em fatores primos.
 b) Quais so as parcelas que compem a expresso 7x+3x2-x3?
 c) Qual  o fator comum quelas parcelas?
 d) Qual  a forma fatorada de 7x+3x2-x3?
 e) Qual  a forma fatorada da expresso 5xy+10y2?
 f) Como voc encontrou o fator comum na fatorao anterior? Explique seu raciocnio.
 g) O que significa fatorar uma expresso algbrica?
 h) Cite uma utilidade da fatorao.
 i) Explique por que no se divide por zero. No esquea: voc precisa considerar dois casos.
<p>
 Problemas e exerccios

 54. Faa o que se pede.
 a) Efetue, em seu caderno, da maneira mais fcil: 25.#gca+
  +75.#gca.

_`[{o aluno pergunta: "Mas qual  a maneira mais fcil?". O professor responde: "Coloque 731 em evidncia"_`]

 b) Em seu caderno, coloque os fatores comuns em evidncia e, depois, simplifique a expresso: ?7.58+9.58+4.58*
  ?58.3+58.2*.

 55. Fatore as expresses algbricas:
 a) ax+bx
 b) ax2+bx3
 c) 6x3+9x2+12x
 d) ab+a3
 e) 15xy+20x
 f) x2+x

<201>
 56. Simplifique as fraes em seu caderno:
 a) ?5x2+15x*5x
 b) ?6x2y+12xy*?x+2*

 57. Esta questo parece misteriosa, mas a chave est na questo 47, na qual voc descobrir quais multiplicaes resultaram nas expresses seguintes. Fatore, ento, as expresses:
 a) 4x2+4x+1
 b) x2-14x+49
 c) x2-49

 58. Leia a histria:

_`[{o professor sugere: "Pense em um nmero. No pode ser zero. Eleve ao quadrado. Multiplique por 4". O aluno responde: "Pronto!". 
O professor continua: "Subtraia 8 vezes o nmero. Divida pelo qudruplo do nmero". O aluno fala: "Deu 9". O professor diz: "Voc pensou 
no 11". O aluno fica surpreso!_`]
<p>
  Como foi possvel descobrir o nmero pensado?

 Resoluo

  O nmero pensado  *x*. Veja os clculos efetuados:
 nmero pensado: *x*
 eleve ao quadrado: x2
 multiplique por 4: 4x2
 subtraia 8 vezes o nmero: 4x2-8x
 divida pelo qudruplo do nmero: ?4x2-8x*4x
  Vamos simplificar a expresso obtida: ?4x2-8x*4x=
  =?4xx-2*4x=x-2.
  O resultado  o nmero pensado menos 2. Portanto, se o menino diz deu 9, o professor diz voc pensou no 11.

 59. No problema anterior, por que o professor pediu ao aluno que pensasse em um nmero diferente de zero?
<p>
 60. Efetue as seguintes operaes com um nmero *x*: eleve ao quadrado, some o qudruplo do nmero e divida pelo nmero somado com 4.
  Simplificando a expresso obtida, qual ser o resultado?
<R->

<202>
 Ao

 Eu tenho. Quem tem?

  Esta atividade funciona como um jogral em que cada um deve falar quando chega sua vez. O resultado pode ser divertido, devido a possveis enganos dos participantes.
  O professor escolhe 6 alunos ou alunas.
  Cada um(a) recebe um carto com uma informao e um pedido.
  Quem tem o carto inicial (isso vem informado no carto) l seu contedo. Esse aluno ou aluna dir que tem certa expresso algbrica e que deseja outra, obtida da primeira.
<p>
  Quem tem o carto com a resposta l agora seu carto e pede outra expresso algbrica, levando a histria adiante.
  E assim prossegue at o ltimo carto.
  Depois o professor escolhe outro grupo para mais uma sequncia de expresses.

<R+>
 Problemas e exerccios para casa

 61. Use fatorao e efetue em seu caderno:
 a) 572+43.57
 b) 37.#cba+14.#cba+49.#cba
 c) 123.3+122.64

 62. Fatore em seu caderno:
 a) 41y2+82y
 b) x6+x3
 c) 41x2y2z2+82xyz
 d) a6b6c12+a3b3c6
<p>
 63. Em seu caderno, simplifique as expresses usando fatorao:
 a) ?132.61+1333*13
 b) ?41.71-41.21*5
 c) ?4x2+20x+24*
  ?x2+5x+6*
 d) ?x2y2+2xy2+y2*
  ?2x2+4x+2*

 64. D a rea de cada figura. Apresente o resultado na forma fatorada:
 a)
<F->
   pccccccccccccccccccccmccccc
   l     {               k     _
 x l     {               k     _
   v--------------------u#
     x          5       l     _
                       x l     _   
                         v-----#
                            x 
<F+>
<p>
 b)
<F->
       x
    pccccc
    l     _      y
    l     {ccccccccc
 y  l     {         _
    l     {         _
    v-----         _
          _         _ 2z
          _         _
          _         _
          _---------#
<F+>

<203>
 65. Leia a histria:

_`[{o professor sugere: "Pense em um nmero diferente de zero. Calcule o triplo de seu quadrado". O aluno responde: "Feito!". 
O professor continua: "Some 6 vezes o nmero e divida pela soma do nmero com 2". O aluno fala: "Deu 21". O professor diz: "Ento, voc 
pensou no 7". O aluno afirma: "Ele acerta todas"_`]

  Faa os clculos sugeridos na histria com um nmero *x*. Explique como foi encontrado o nmero pensado.

 66. A cada sentena em portugus corresponde uma outra na linguagem algbrica. Por exemplo: a sentena *a* associa-se  sentena 4. Faa as outras associaes.
 a) Todo nmero diferente de zero dividido por si mesmo d 1.
 b) O cubo de um nmero multiplicado por seu quadrado d sua quinta potncia.
 c) Zero multiplicado por qualquer nmero d zero.
 d) O triplo de uma soma  igual  soma dos triplos de cada parcela.
 1) 0.x=0
 2) x3.x2=x5
 3) 3x+y+z=3x+3y+3z
 4) xx=1, se x=0
<p>
 67. Em seu caderno, reduza os termos semelhantes e fatore o resultado:
 a) ab+3b-2ab-b
 b) a2x2y+3a5xy-
  -2a2x2y-a5xy
 c) 4x-2-6x+10
 d) 4a3b2-2a5-
  -6a3b2+10a5

 68. Resolvi aproveitar a promoo do anncio: comprei *x* picols e *y* sorvetes de casquinha e gastei G.

_`[{anncio: "Sorvetes Maravilha: picol -- R$1,50; casquinha -- R$1,70"_`]

 a) Escreva em seu caderno uma frmula para G, em funo de *x* e de *y*.
 b) Se G=4,70, voc pode descobrir os valores de *x* e *y* por tentativas. Quais so?
 c) Suponha que G=49 e considere estas frmulas:
 x=49-1,7y; x=49-y; x=?49-1,7y*1,5
  Qual delas  a verdadeira?
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  efetuar operaes com monmios;
  efetuar reduo de termos semelhantes em expresses algbricas;
  multiplicar polinmios;
  reconhecer produtos notveis;
  simplificar expresses algbricas colocando um fator comum em evidncia;
  deduzir frmulas em contextos simples, efetuando clculos algbricos.
<R->

<204>
 Um toque a mais

 Um pouco de histria: o incio
  da lgebra

  A lgebra nasceu da necessidade de resolver problemas envolvendo operaes com uma quantidade desconhecida. Veja um exemplo simplificado que lembra os problemas de herana que os rabes enfrentavam no sculo IX:
  *Reparta uma herana de 600 moedas entre trs herdeiros, de modo que o mais velho receba o dobro do segundo e este o triplo do caula.*
  Imaginando que a parte do terceiro herdeiro  a quantidade desconhecida *x*, com a qual so efetuadas operaes, chegamos a esta equao: x+3.x+2.3.x=600. (Veja: 3.x  a parte do irmo do meio e 2.3.x  a parte do mais velho.)
  Como os problemas a que nos referimos levam a equaes, tambm  correto dizer que a lgebra nasceu do interesse em resolver equaes.
  Matemticos de vrias civilizaes antigas resolveram complicados problemas desse tipo. No entanto, eles no usavam lgebra. Alguns faziam tentativas, outros usavam figuras geomtricas, mas ningum ainda conhecia os mtodos da lgebra, em especial as equaes.
  Foi em Bagd, atual capital do Iraque, no sculo IX, que a lgebra comeou a ser usada de maneira sistemtica. Nessa poca, os rabes, com outros povos que professavam a religio fundada pelo profeta Maom no sculo VII, haviam constitudo um vasto imprio islmico, ocupando Espanha, o norte da frica, Arbia e o sul da sia at a ndia.

<R+>
_`[{mapa "Fronteiras do mundo islmico" no adaptado_`]
<R->

  A cidade de Bagd, muito prspera comercialmente, tornou-se sua capital poltica e cultural. Tinha ruas caladas, palcios, livrarias, bibliotecas e escolas de medicina. Os califas atraram vrios sbios para a cidade oferecendo-lhes empregos bem remunerados.
<205>
<p>
<R+>
_`[{foto descrita por legenda_`]
 Legenda: A Mesquita Dourada foi construda em 847 e est localizada em Samarra, no 
  Iraque (foto de 2003).
<R->

  Nesse ambiente favorvel *Al-Khowarizmi*, primeiro grande matemtico da cultura islmica, publicou seu clebre livro *Al-jabr we muqabalah*. A expresso *al-jabr* originou a palavra lgebra. Alm de iniciar um novo ramo da Matemtica, o autor introduziu o sistema de numerao da ndia no mundo rabe. Como esse sistema  o mesmo que usamos atualmente, a importncia histrica desse matemtico foi notvel. Repare ainda que a palavra algarismo vem do nome Al-Khowarizmi!
  O que continha o *Al-jabr*? No prefcio, o autor explicava que desejava ensinar de maneira fcil os clculos de que os homens constantemente necessitam em casos de heranas, legados, parties, processos legais e comrcio [...]. Isto , o trabalho atendia a necessidades prticas de sua sociedade. A partilha de heranas, por exemplo, era difcil devido s leis da poca, o que  refletido no problema-exemplo que mostramos.
  A obra ensinava a resolver esses problemas por meio de equaes. Sua grande novidade era o mtodo de resoluo algbrico. 
 Eram feitos clculos com a incgnita, que ns chamamos de *x* e os rabes chamavam de coisa. Nesse clculo, usavam-se *al-jabr* e *muqabalah*, dois procedimentos ainda em uso na resoluo de equaes. Segundo os conhecedores da obra, *al-jabr* consiste em mudar um nmero de um lado para outro da igualdade, invertendo a operao, e *muqabalah* consiste em efetuar uma mesma operao dos dois lados, mantendo a igualdade. Por exemplo:
<p>
<R+>
  tendo 2x+3=15, *al-jabr* dava 2x=15-3;
  tendo x2+x=x2+6, 
  *muqabalah* dava x=6, pois subtramos x2 dos dois membros da igualdade.
<R->
<206>
  Atualmente, os alunos que, como voc, estudam lgebra durante este ano, fazem vrios clculos com *x*, y2, *z* etc. Na obra de Al-Khowarizmi, porm, todos os clculos e resolues de equaes eram escritos com palavras.
   claro que o uso de letras para representar quantidades  importante porque facilita a escrita e os clculos. Isso j havia sido feito, entre outros, por Diofante, matemtico grego do sculo III que tambm estudou equaes. No entanto, o uso de letras foi ignorado justamente pelo inovador Al-Khowarizmi. Nos sculos seguintes, a representao de quantidades por letras ressurgiu aumentando o poder da lgebra.
<p>
  Depois do sculo IX, a lgebra progrediu devido a matemticos rabes, persas e indianos. Por volta do sculo XIII, a obra de Al-Khowarizmi tornou-se conhecida na Europa, provocando um renascimento matemtico. A maneira de registrar as equaes foi se aperfeioando, at assumir, no sculo XVII, a forma usada hoje. O matemtico francs Franois Vite (1540-1603), um dos grandes responsveis pelo progresso da lgebra nesse perodo, criou uma forma de registro que facilitou clculos e dedues de frmulas e que  bem prxima da que usamos. Veja alguns exemplos de antigas escritas algbricas.

 Registrando a equao 
  3x2+2=14

<R+>
  O matemtico italiano Bombelli, em 1572, escrevia: 

 3,.p.2.Equale  14

_`[{o smbolo *,* representa um arco em cima do nmero 3 e com o nmero 2 acima do arco_`]

  Vite, em 1591, usava Q para indicar a incgnita ao quadrado (se fosse ao
cubo ele usava C) e a igualdade era indicada em latim: 3Q+2 aequatur 14
  Descartes, filsofo e matemtico francs, j registrava, em 1637, de forma similar
 nossa, o que s foi possvel porque ele j conhecia o trabalho de Vite.

 3x x+2wr14

_`[{o smbolo wr representa o smbolo entre o nmero 2 e o nmero 14_`]
<R->

  A lgebra desenvolvida at o sculo XVII  ensinada para jovens do mundo todo, incluindo voc. Trata-se de conhecimento indispensvel para fsicos, qumicos, engenheiros, economistas etc. e constitui a porta de entrada de todas as cincias exatas.
  E como voc j estudou lgebra suficiente, sugerimos duas tarefas:
<R+>
  Resolva o problema da herana tentando imitar Al-Khowarizmi. Veja bem, a primeira condio  usar apenas palavras, no smbolos.
  Encontre a soluo da equao seguinte, escrita  maneira de Vite: 3C+2 aequatur 26.
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte
